HISTORIA

En las matemáticas babilónicas encontramos tablas con los cuadrados, los cubos y los inversos de los números naturales. Estas tablas sin duda definen funciones de N en N o de N en R, lo que no implica que los babilonios conocieran el concepto de función. Conocían y manejaban funciones específicas, pero no el concepto abstracto y moderno de función

 . En el antiguo Egipto también aparecen ejemplos de usos de funciones particulares. Una tabla con la descomposición de 2/n en fracciones unitarias4 para los impares n desde 5 hasta 101 aparece en el Papiro Rhind o Papiro Ahmes, de unos 4000 años de antigüedad considerado como el primer tratado de matemáticas que se conserva.

En la Grecia clásica también manejaron funciones particulares —incluso en un sentido moderno de relación entre los elementos de dos conjuntos y no sólo de fórmula— pero es poco probable que comprendieran el concepto abstracto (y moderno) de función5 .

La mayor parte de los historiadores de las matemáticas parecen estar de acuerdo en atribuir a Nicole Oresme (1323- 1382) la primera aproximación al concepto de función, cuando describió las leyes de la naturaleza como relaciones de dependencia entre dos magnitudes.

 Fue el primero en hacer uso sistemático de diagramas para representar magnitudes variables en un plano.6 En la revolución científica iniciada en el siglo XVI los científicos centraron su atención en los fenómenos de la naturaleza, poniendo énfasis en las relaciones entre las variables que determinaban dichos fenómenos y que podían ser expresadas en términos matemáticos.

Era necesario comparar las variables, relacionarlas, expresarlas mediante números y representarlas en algún sistema geométrico adecuado. Galileo Galilei (1564-1642) pareció entender el concepto de función aún con mayor claridad. Sus estudios sobre el movimiento contienen la clara comprensión de una relación entre variables. Entre las funciones que estudió Galileo destacan, por sus sorprendentes consecuencias.

APLICACIONES

Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de astronomía, de geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables. Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se relaciona un conjunto de determinados objetos o productos alimenticios, con el costo en pesos para así saber cuánto podemos comprar; podemos escribir esta correspondencia en una ecuación de función “x” como el precio y la cantidad de producto como “y”.

Otros casos son el valor de la factura de teléfono según el número de minutos hablado. El valor es función del tiempo. El gasto de gasolina y la velocidad de un auto. El consumo es función de la velocidad. El radio de una rueda de bicicleta y el espacio de que recorre al dar una vuelta. El espacio que recorre depende del radio de la rueda.

CURIOSIDADES

El tema de funciones tal como lo es la matemática en su totalidad es tan importante como interesante, las aplicaciones las podemos encontrar en la misma naturaleza, aquí dejamos una pequeña recopilación de los mayores descubrimientos de las funciones en la vida real que tu no sabias

Nikki Grazziano

Matemático y fotógrafo que ha unido las matemáticas y las  fotografías de la  naturaleza para enseñar las funciones matemáticas. Nikki ha encontrado una forma de reunir sus dos intereses en una serie de imágenes llamada Found Functions, (Funciones Encontradas) en las que superpone gráficas generadas mediante fórmulas matemáticas a fotografías tomadas por ella. Pero por lo visto no busca imágenes que puedan adaptarse a ciertas fórmulas, sino que cuando tiene una fotografía que le gusta es cuando busca y ajusta la fórmula necesaria para generar que la representación gráfica se adapte.
Una curiosa forma de aprender matemáticas y ver que todo se  puede representar con ellas.
A continuación, te mostramos algunas de sus más famosas fotografías.

http://funcionesmatematicas.weebly.com/curiosidades.html

¿Sabías que existe otro tipo de función?

FUNCIÓN WEIERSTRASS

En matemáticas , la función de Weierstrass es un ejemplo de una patológica de valor real función en la recta real . La función tiene la propiedad de ser continua en todas partes pero no derivable en ninguna parte. Lleva el nombre de su descubridor Karl Weierstrass .

Puedes seguir conociendo d ella a través de 

https://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_function

OTRAS CURIOSIDADES RELACIONADAS CON L ATEORIA DE EULER

http://valle.fciencias.unam.mx/titulacion/narraciones2.pdf

VIDEOS FUNCIONES

Video de Funciones introduccion ¿Que son? - Entendiendo las funciones.


Funciones - Introducción - Ejercicios Resueltos

GRANDES MATEMÁTICOS QUE APORTARON A LAS FUNCIONES

René Descartes

Nació en La Haye, Turena, Francia; el 31 de marzo de 1596 y fallece en Estocolmo el 11 de febrero de 1650. Fue un filósofo, matemático.

Hasta el siglo XXII, las curvas eran bien definidas por sus propiedades geométricas y el concepto de función era una noción que faltaba al estudio de las curvas.

Descartes, con sus aplicaciones de métodos algebraicos en geometría, mostró el camino para la introducción de la noción de función. La nueva geometría no se asemejaba necesariamente a la de los griegos. Descartes y Fermat la hicieron analítica: búsqueda de tangentes a las curvas, cálculos de áreas y muchas otras cuestiones caracterizaba esta nueva creación matemática.

Isaac Newton

Nació 4 de enero de 1643 en Woolsthorpe y murió el 31 de marzo, 1727 fue un físico, filósofo, inventor, alquimista y matemático inglés. Newton fue el primero en demostrar que las leyes naturales que gobiernan el movimiento en la Tierra son las mismas que las que gobiernan el movimiento de los cuerpos celestes. Es calificado como el científico más grande de todos los tiempos, y su obra, como la culminación de la Revolución científica, también se conoce como el padre de la mecánica moderna.

Gottfried Wilhelm Leibniz

Nace en Leipzig, 1 de julio de 1646 y fallece en Hannover, 14 de noviembre de 1716. Fue un filósofo, matemático, jurista, bibliotecario y político alemán.

El nombre de "función" proviene de este gran matemático, término que usó por primera vez en su obra "Methodus Tangentium Inversa Sen de fontionibus" el cual fue utilizado para designar las cantidades cuyas variaciones están ligadas por una ley. Aunque este concepto no es como el que se define en la actualidad. Sin embargo, en la correspondencia entre Leibniz y Johann Bernoulli, en repetidas ocasiones, se discutía el concepto función y los símbolos (o caracteres) utilizados para representarlas. Leibniz, al igual que Newton, contribuyó decisivamente al desarrollo del concepto de función.

Bibliografia: http://fmatematicas551108a220.blogspot.com.co/2015/05/personalidades-que-aportaron-sobre-el.html

TEORÍA

Función

Es una relación que asigna a cada elemento del conjunto de partida “x” un solo elemento del conjunto de llegada “y”.

El conjunto “x”, tiene varios nombres como: partida, independiente, pre imagen o dominio.

El conjunto “y”, tiene varios nombres como: llegada, dependiente, imagen o rango.

Luego se establece la regla de definición que sería; los elementos del conjunto de llegada se denomina “y” o f(x). Y f(x) que es el conjunto “y”  se relaciona con el conjunto de partida “x”, se puede apreciar que en este conjunto el número aumenta de a tres. Se denota de la siguiente manera:

f(x)=3x

Si se quiere hallar el valor de la imagen o del rango, se multiplica 3 por los valores de “x”. Por ejemplo de donde sale 6.

f(x)=3x

f(x)=3(2)

f(x)=6

No es una función cuando del conjunto de partida “x”, corresponde dos o más elementos del conjunto de llegada “y”. Es decir del conjunto de salida o rango debe salir una flecha, como se muestra en la figura del número 2 salen dos flechas para el conjunto de llegada o rango, el 6 y el 9. Esto no tiene sentido, porque:

f(x)=3x

f(x)=3(2)

f(x)=6

f(x)=6, y no 9.

Como determinar si una gráfica representa una función o no, es muy sencillo hay que realizar la prueba de la recta vertical. Se toma cualquier punto del eje “x” y de allí se traza una recta vertical, y si toca un solo punto en la gráfica, es una función.

Si llegará la línea vertical tocaren más de un punto en la gráfica, no es una función, por que a cada elemento de “x” le corresponde un elemento de “y”. Por ejemplo:

Esta gráfica es una función, debido a que al trazar líneas verticales en el eje “x”, se puede apreciar que solo toca un punto en la recta.

En la siguiente gráfica tenemos:

Esta gráfica no es una función, debido a que al trazar las líneas verticales en el eje “x”, se puede apreciar que toca más de un punto en la figura.

Dominio, son los valores que puede tomar “x”.

Rango, son los valores que puede tomar “y” o f(x).

Por ejemplo, se tiene  la siguiente función:

f(x)=2x+1

El dominio son los valores que se le dan a la “x”, mientras que el rango son los valores obtenidos al reemplazar  la “x” por un valor determinado. Por ejemplo, a la “x” se le da el valor de -1.

f(x)=2x+1

f(x)=2(-1)+1

f(x)=-2+1

f(x)=-1

El dominio es -1, porque es valor que se le dio a la “x”, el rango es el valor obtenido en las operaciones de la función y es -1.

Para comprender mejor, se hace una tabla:

Ejercicios, determinar si las siguientes gráficas son funciones o no.

FUNCIÓN LINEAL

GRÁFICAS DE FUNCIONES LINEALES

   

Existen dos tipos de funciones lineales, las que pasan por el origen y las que cortan el eje y en un punto diferente al origen, todas ellas describen una relación ente parejas ordenadas que guardan una concordancia  determinada  dependiendo de la ecuación que lasa describa

FUNCION CUADRATICA

Funciones Cuadráticas

Una función cuadrática es una función que puede ser descrita por una ecuación de la forma y = ax² + bx + c,   y = ax²   donde a ≠ 0. Ningún término en la función  tiene un exponente mayor que 2, sus  gráficas son parábolas  con el  vértice en el origen o en un punto diferente. El  valor de a  influye  en la abertura de la parábola, entre más pequeño sea el valor absoluto  de  a las ramas de la parábola son más abiertas. El  signo de  a determina si las ramas   se abren hacia arriba  o hacia abajo.

Función Cuadrática general  (x,y):y = ax² + bx + c  para  a diferente de cero

Las funciones cuadráticas son útiles cuando trabajamos con áreas, y frecuentemente aparecen en problemas de movimiento que implican gravedad o aceleración.

Observemos  algunas gráficas sencillas en donde se puede evidenciar las anteriores características descritas. Como podemos observar son  funciones que parten del  origen y tienen la forma  y = ax²

   y = x²                                                                         

x	y
0	0
1	1
-1	1
2	4
-2	4
3	9
-3	9

   y=-x²       

x	y
0	0
1	1
-1	1
2	4
-2	4
3	9
-3	9

    

Las funciones  Cuadráticas que tienen  una estructura diferente a la formula anterior  no parten del origen sino de otro punto  determinado

y=4 x²  +2

x	y
0	2
1	6
-1	6
2	18
-2	18
3	38
-3	38

  

Ejercicios de Aplicación

Don José  un señor que sea especializado en la construcción de kioscos circulares tiene en su libreta una  tabla  con la que se guía para la construcción de los  kioscos, de forma inconsciente hace uso de una función cuadrática.

Radio de kiosco en metros	Área del kiosco  en metro cuadrados
0	0
1	3.1416
2	12.56
3	28.26
4	50.24
5	78.50
6	113.04

                             

Don  José  consulta permanentemente  esta tabla y nos pide describirle  ¿cuál es la función que  emplea en esta relación de datos?

Es una función  cuadrática  y la relación esta descrita por la  función  y= 3.1416x²

Raúl es  un compañero que  pesa  70 Kg,  practica  atletismo. Calculemos  su energía cinética cuando corre.
energia Cineica=1/2m* V²                                                       

Velocidad en m/s	Energía Cinética en  julios
0	0
1	35
2	140
3	315
4	560
5	875
6	1260

    

y= 35x²                                   

EXPLICACIÓN TUTORIAL DE APOYO